Социально-экономические науки

Математизация науки

Математика является тем инструментом, без которого невозможно полноценное развитие никакой науки, с помощью которого наиболее эффективно производятся многочисленные исследования во многих науках. В настоящее время мы видим бурный рост числа математических приложений, связанный, прежде всего с развитием компьютерных технологий, появлением глобальной сети Internet. Те математические идеи, которые раньше не покидали области академической науки, сейчас являются привычными в обиходе программистов, прикладников, экономистов.

В процессе математизации наук в основном используются три метода: математическое моделирование, формализация и аксиоматизация.

Важнейший метод — это математическое моделирование. Он состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике.

Идея моделирования — некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации. Мы абстрагируемся и выделяем только нужные для нас свойства. В конечном итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления. Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметно расширились, но некоторые задачи, например долгосрочное прогнозирование погоды, до сих пор являются недоступными.

Удивительным образом оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать много разнообразных явлений в различных областях. Например, одно дифференциальное уравнение может описывать и рост численности популяции, и химический распад, и цепную ядерную реакцию, и распространение информации в социальной группе.

Этапы построения математической модели, например в экономике:

  1. Определение цели, то есть чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
  2. Определение параметров модели, то есть заранее известных фиксированных факторов, на значение которых исследователь не влияет.
  3. Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
  4. Определение области допустимых решений, то есть тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
  5. Выявление неизвестных факторов, то есть величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
  6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, то есть формирование целевой функции, называемой также критерием оптимальности задачи.

Это связано со спецификой области: в экономике важны именно такие числовые модели, так как предметная область там в основном состоит из понятий, которые имеют количественный характер.

Основные черты метода математического моделирования заключатся в следующем:

  1. Абстракция, некоторое упрощение предметной области, выделение только существенных для исследователя черт рассматриваемого явления;
  2. Выявление нужных параметров или характеристик процесса, которые и составляют предмет дальнейшего исследования;
  3. Выявление существенных взаимоотношений между этими параметрами;
  4. Поиск нужного математического объекта, который будет описывать все исследуемые параметры и отношения между ними;
  5. Применение математического аппарата к этому объекту для описания исходного явления.

Выражаясь математическим языком, можно сказать, что происходит отображение предметной области, реального явления в математические множества (понятия, структуры). Причем это отображение обладает свойством сохранять некоторые отношения между реальными объектами, в том смысле, что при изменении в реальности происходит похожее изменение и в математическом ее образе.

Адекватность математики при отражении реальности в своих моделях связана с тем, что сама математика, ее понятия и структуры являются не чем иным, как абстракцией самой объективной реальности. Когда мы создаем какое-то множество математических понятий, абстрагируясь от реальных объектов, мы неявно переносим в понятия и связи между этими объектами, которые затем возникают при построении математических моделей.

Следующий метод математизации — формализация. Он состоит в том, что все изучаемые объекты реальности и отношения между ними заменяются наборами символов и отношений между ними в некотором искусственном языке. Система удобных обозначений — важная часть любой области математики. Этот искусственный язык должен быть по возможности компактным, недвусмысленным и простым. Это отличает его от естественных человеческих языков, для которых характерна некоторая неоднозначность и неопределенность семантики и синтаксиса. Недаром до сих пор не создано удовлетворительных автоматических систем перевода с одного языка на другой. Поэтому важнейшей частью формализации является правильный перевод предметной области на формальный язык.

Формализация — процесс «кодирования» объектов изучаемой реальности некоторым искусственным языком, и формулировка основных законов исследуемого явления на этом языке. Полезность этого подхода состоит в том, что изначально неясная и смутная картина заменяется строгими и точными манипуляциями с языком.

Выделим еще один метод математизации — аксиоматизацию. Она состоит в том, что в некоторой области знания из всех истинных утверждений выделяется набор некоторых простейших утверждений или аксиом, из которых посредством логического вывода можно в принципе получить любое утверждение этой области. Классическим примером аксиоматически построенной теории является геометрия Евклида.

Аксиоматизация предполагает выявление простейших понятий и аксиом области исследования, из которых посредством логических правил получаются все теоремы (истинные утверждения) данной теории. Этот метод позволяет охватывать всю изучаемую область с помощью относительно небольшого списка аксиом.

Проблемы, с которыми сталкиваются исследователи, применяющие математические методы в других науках, можно разделить на два типа. Первые — связанные с проблемами в самой математике, то есть когда, например, математическая модель явления построена, а ее исследование затруднено из-за того, что подходящие методы еще не разработаны, либо их разработка — нерешенная пока проблема (в математике много своих «внутренних» проблем). Второй тип связан с самими областями знания, которые подвергаются математизации: либо сложно построить математическую модель, либо построенная и изученная модель неправильно описывает изучаемое явление.

Многие современные математические модели (например, метеорологического прогноза) очень сложны и не поддаются анализу. Поэтому здесь применяют компьютеры. Но порой и компьютерам необходимо огромное время для проверки теоретических условий. Отсюда потребность в разработке быстрых алгоритмов. Как правило, разработка таких алгоритмов связана с решением некоторых трудных, порой чисто математических проблем.

Проблемы второго типа, связанные с трудностью построения нужных математических моделей можно проиллюстрировать на примере задачи компьютерного перевода с одного естественного языка на другой. В начале 1950-х, с появлением первых ЭВМ и с преувеличением их реальных возможностей, исследователи были уверены, что создание достаточно хороших программ-переводчиков возможно, надо лишь запрограммировать основные правила языка и соответствующий словарь. Оказалось, что человеческие языки очень сложны для формализации: смысл некоторых слов зависит от контекста, правила зачастую неоднозначны, этих правил много и они сложны. До сих пор нет удовлетворительных программ-переводчиков.

Проблемы применения математических методов в различных науках связаны с самой математикой (математическое изучение моделей), с областью моделирования (сложно построить модель из-за размытости границ явления) и с интерпретацией модели (построенная модель неправильно описывает явление).

Возможности математизации ограничиваются сложностью исследуемых явлений. Если формулировка проблемы разумна, то рано или поздно можно будет применить математику для ее решения.

Засыпкина К.В.

Литература

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988г.
  • Арнольд В.И. Для чего мы изучаем математику? Что об этом думают сами математики? // Квант №1, 1993
  • Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. М. Изд-во «Бек», 2002
  • Гуц А.К. Лекции по семинару “Основные идеи в математике”, 2 семестр, 2000 г.
  • Пуанкаре А. Интуиция и логика в математике. (Пуанкаре А. О науке (под ред. Л.С. Понтрягина). — М., Наука, 1989, стр. 205-218)
  • Вейль Г. Математический способ мышления (под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина; пер. с англ. Ю.А. Данилова). М.: Наука, 1989. стр. 6-24
  • Горохов В.Г. Розов М.А. Степин В.С. Философия науки и техники.